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Sumários das Aulas Teorico-Práticas

Geometria Euclideana e Cartesiana

  1. Noções geométricas elementares no plano euclideano: vectores, segmentos de recta, rectas, distância, produto interno.

  2. Elípses, parábolas e hipérboles; Cónicas e sua classificação.

  3. Polígonos convexos; fórmula da soma dos ângulos.

  4. Isometrias do plano: translações, rotações e reflexões.

  5. Representação de isometrias com coordenadas complexas.

  6. Isometrias directas e indirectas. Classificação das isometrias por pontos fixos.

Introdução às Geometrias Esférica, Projectiva e Hiperbólica

  1. Introdução à Geometria esfrérica: A projecção estereográfica.

  2. Pontos antípodas. Círculos e círculos máximos.

  3. Tranformações de Möbius e matrizes complexas.

  4. Rotações e isometrias da esfera em coordenadas complexas.

  5. Introdução à Geometria projectiva: o plano elíptico, o espaço das rectas homogéneas.

  6. Projecção central, coordenadas homogéneas.

  7. Colineações e projectividades. Pontos em posição geral.

  8. Teorema fundamental da geometria projectiva. Teoremas de Desargues e de Pappus.

  9. Introdução à geometria hiperbólica: os modelos de Poincaré e de Klein.

  10. Isometrias hiperbólicas em coordenadas complexas.

Curvas no Plano e no Espaço Euclideanos

  1. Caminhos regulares; vector tangente; comprimento.

  2. Curvas regulares e suas parametrizações.

  3. Curvas no plano e curvatura; .

  4. Curvatura total e o teorema das tangentes.

  5. Caminhos métricos; curvatura e torção.

  6. Referencial de Frenet.

  7. Teorema fundamental das curvas no espaço.

Superfícies no Espaço Euclideano

  1. Mapas regulares; vector normal; área.

  2. Superfícies regulares e suas parametrizações.

  3. Plano tangente; Aplicação derivada.

  4. Primeira Forma Fundamental (métrica)

  5. Aplicação de Gauss.

  6. Operador Curvatura; curvaturas principais

  7. Curvatura escalar (de Gauss) e curvatura média.

  8. Teorema fundamental das superfícies no espaço.

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